在数学中，调和共轭（Harmonic conjugate）是针对函数的概念。定义在开集
Ω
⊂
R
2
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}
中的函数
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,\,y)}
，另一个函数
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,\,y)}
为其共轭函数的充分必要条件是
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,\,y)}
和
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,\,y)}
需要是全纯函数
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
（
z
:=
x
+
i
y
∈
Ω
{\displaystyle z:=x+iy\in \Omega }
）的实部及虚部。
因此，若
f
(
z
)
:=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}
在
Ω
{\displaystyle \Omega }
中为全纯函数，
v
{\displaystyle v}
就为
u
{\displaystyle u}
的共轭函数。而
v
{\displaystyle v}
和
u
{\displaystyle u}
也是
Ω
{\displaystyle \Omega }
中的调和函数。
v
{\displaystyle v}
为
u
{\displaystyle u}
的共轭函数，当且仅当
u
{\displaystyle u}
为
−
v
{\displaystyle -v}
的共轭函数。
在
Ω
{\displaystyle \Omega }
区间内，
v
{\displaystyle v}
是
u
{\displaystyle u}
共轭函数的充分必要条件是
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
满足柯西－黎曼方程。
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}
举例[编辑]
例如，考虑函数
u
(
x
,
y
)
=
e
x
sin
y
.
{\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}
因为
∂
u
∂
x
=
e
x
sin
y
,
∂
2
u
∂
x
2
=
e
x
sin
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}
且
∂
u
∂
y
=
e
x
cos
y
,
∂
2
u
∂
y
2
=
−
e
x
sin
y
,
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}
会满足
Δ
u
=
∇
2
u
=
0
{\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}
（
Δ
{\displaystyle \Delta }
是拉普拉斯算子），因此是调和函数。现在假设存在
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
，可以满足柯西－黎曼方程：
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
=
e
x
sin
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}
and
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
=
e
x
cos
y
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}
化简后可得
∂
v
∂
y
=
e
x
sin
y
{\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}
且
∂
v
∂
x
=
−
e
x
cos
y
{\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}
因此可得
v
=
−
e
x
cos
y
+
C
.
{\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}
若u和v的关系对调，函数就不是调和共轭函数了，因为柯西－黎曼方程中的负号，让此关系是非对称的关系。
参考资料[编辑]
Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. Complex variables and applications 6th. New York: McGraw-Hill. 1996: 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.
外部链接[编辑]
Harmonic Ratio （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Conjugate harmonic functions, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）